シャノン研究ノート

クロード・シャノンによる競合通信路：情報理論とゲーム理論の交差点

Tags: 情報理論, ゲーム理論, 競合通信路, ジャミング, シャノン, チャネル容量

はじめに：競合通信路とは

情報理論の創始者であるクロード・シャノンの研究は、ノイズが存在する状況での信頼性の高い通信の限界を数学的に明らかにすることに大きな貢献をしました。シャノンの最も有名な成果の一つは、ノイズのある通信路の容量定理であり、これは受動的かつ統計的なノイズ（例：熱雑音）を想定したものです。しかし、通信環境には、自然界のノイズだけでなく、意図的な妨害、すなわちジャミングが存在する場合があります。このような状況をモデル化し、その通信の限界を考察するために、シャノンは情報理論とゲーム理論を結びつけた「競合通信路（Competitive Channel）」の研究を行いました。

競合通信路は、送信機と受信機からなる通常の通信システムに加え、意図的に信号伝送を妨害しようとする「ジャマー（Jammer）」が存在するモデルです。ジャマーは、通信システムに関する何らかの情報を持ち、自身の妨害能力の範囲内で、通信の信頼性を最大に損なうように振る舞います。これは、送信機・受信機チームとジャマーという二者間の戦略的な相互作用を含む問題であり、ゲーム理論的なアプローチが不可欠となります。

シャノンの競合通信路に関する研究は、情報理論のフレームワークを拡張し、敵対的な環境下での通信という現代の情報セキュリティや電子戦において極めて重要な問題に対する初期の、かつ根源的な洞察を提供しました。本稿では、シャノンによる競合通信路のモデル、容量概念、そしてゲーム理論的な解析に焦点を当て、その理論的意義と現代における位置づけを掘り下げます。

競合通信路のモデルと容量

シャノンが競合通信路を考察する際に採用した基本的なモデルは、送信機 $X$、通信路、ジャマー $Z$、そして受信機 $Y$ から構成されます。通信路は入力アルファベット $\mathcal{X}$、出力アルファベット $\mathcal{Y}$、そしてジャマーによる妨害アルファベット $\mathcal{Z}$ を持ちます。時間ステップ $i$ において、送信機はシンボル $x_i \in \mathcal{X}$ を送信し、ジャマーはシンボル $z_i \in \mathcal{Z}$ を選択します。通信路は、入力 $x_i$ と妨害 $z_i$ に応じて、確率的に出力 $y_i \in \mathcal{Y}$ を生成します。このチャネルの条件付き確率は $P(y_i | x_i, z_i)$ で記述されます。

通常のノイズありチャネルでは、ノイズは確率的に振る舞い、その統計的性質は既知であると仮定されます。しかし、競合通信路におけるジャマーは、自己の利益（通信を妨害すること）を最大化するように「賢く」振る舞います。この状況をモデル化するために、シャノンはゲーム理論におけるミニマックス原理を導入しました。

通信システム（送信機・受信機）の目標は、可能な限り高いレートで情報を信頼性高く送信することです。一方、ジャマーの目標は、与えられた妨害能力の範囲内で、誤り確率を最大化することです。このような敵対的な状況での「容量」を定義するには、送信機とジャマーがそれぞれ相手の行動を考慮して最適な戦略を選択するという視点が必要です。

シャノンは、競合通信路の容量を、送信機が達成可能な最大レート（任意の小さな誤り確率で信頼性の高い通信が可能となるレート）と、ジャマーがそのレートでの通信を妨害できない能力の限界との間の均衡点として捉えました。これは、ゲーム理論の言葉で言えば、「ゲームの値」に相当します。

具体的には、送信機は符号化・変調戦略（確率分布 $P_X$）を選択し、ジャマーは妨害戦略（確率分布 $P_Z$）を選択します。通信路の遷移確率は $P(Y|X,Z)$ で与えられます。送信機とジャマーの戦略のペア $(P_X, P_Z)$ に対する相互情報量 $I(X;Y|Z)$ や誤り確率を考えることができます。ここで問題となるのは、送信機はジャマーの戦略を知らず、ジャマーも送信機の戦略を完全に知っているわけではないという状況です（あるいは、最悪ケースを想定する）。

このミニマックスゲームにおいて、シャノンは競合通信路の容量 $C_J$ を以下のように定義しました。

$C_J = \max_{P_X} \min_{P_Z} I(X; Y | Z)$

ここで、$\max_{P_X}$ は送信機が最適な入力分布を選択することを示し、$\min_{P_Z}$ はジャマーが最適な妨害分布を選択することを示します。この定義は、送信機が最悪のジャミング戦略に対抗して容量を最大化するという考えに基づいています。逆に、ジャマーの視点からの容量（マキシミン容量）も考えることができますが、適切な条件下（特に凸凹性）ではミニマックス容量とマキシミン容量は一致することが、ゲーム理論のミニマックス定理によって保証されます。

シャノンの初期の研究では、ジャマーの能力は様々な形でモデル化されました。例えば、ジャマーが送信電力に対して合計エネルギーやピーク電力の制約を持つ場合、あるいは特定の周波数帯域のみを妨害できる場合などです。ジャマーの能力に応じて、最適な妨害戦略や容量の値は変化します。

ゲーム理論的アプローチの核心

競合通信路の問題をゲーム理論的に定式化することの核心は、通信システムの性能（例えば誤り確率）を、送信機の符号化戦略とジャマーの妨害戦略という二つのプレイヤ—の選択に依存する利得関数と見なす点にあります。送信機は誤り確率を最小化しようとし、ジャマーは最大化しようとします。これはゼロ和ゲーム（または定和ゲーム）として捉えることができます。

シャノンの競合通信路に関する分析は、主に彼の著作 "Communication in the presence of noise" (1948) の続編や、その後の研究論文、特に共同研究者との論文で展開されました。彼は、ゲーム理論の概念、特にミニマックス定理を情報理論の文脈に応用することで、この種の通信問題に厳密な数学的基礎を与えました。

例えば、バイナリ対称チャネル（BSC）に対するジャミングを考えます。送信機は0または1を送信し、ジャマーはチャネル遷移確率を操作しようとします。ジャマーがビット反転確率を制御できるが、その合計反転回数に制約がある場合などをモデル化できます。この場合、送信機とジャマーは、それぞれの制約下で最適な確率分布を選択する混合戦略ゲームをプレイしていると見なせます。シャノンは、このようなゲームの「値」、すなわち容量がどのように計算できるかを示しました。

このアプローチは、通信システム設計者が、単なる統計的ノイズだけでなく、知的な敵対者からの妨害に対してもロバストなシステムを設計するための理論的な指針を提供しました。最適な符号化戦略は、平均的なノイズレベルに対して最適であるだけでなく、ジャマーの可能な限り最悪の戦略に対してもある程度性能を維持できるように選択されるべきである、という洞察を与えました。

歴史的背景と現代への意義

シャノンが競合通信路の研究を行った背景には、第二次世界大戦中の暗号研究や戦後の電子戦への関心があったと考えられます。暗号システムの研究も、本質的にはメッセージを傍受・解析しようとする敵対者との間の「ゲーム」として捉えることができます。シャノンの有名な論文 "Communication Theory of Secrecy Systems" (1949) は、暗号の安全性を情報理論的に分析する試みであり、これも敵対的な状況での情報伝送という文脈に位置づけられます。競合通信路の研究は、この暗号理論における敵対者モデルを、より広範な通信妨害の問題に応用したものと見ることができます。

シャノンの競合通信路に関する初期の研究は、情報理論における「ゲーム理論的側面」の重要性を示す先駆けとなりました。これは、その後の情報理論とゲーム理論の交差点での研究、例えば複数ユーザー間の干渉回避、分散型ネットワークにおける資源分配、そして情報セキュリティにおける攻撃と防御のモデルなどに影響を与えています。

現代の情報科学において、競合通信路の概念やゲーム理論的アプローチは、以下のような様々な分野で応用されています。

シャノンによる競合通信路の研究は、単に理論的なモデルを提供しただけでなく、「敵対的な知能」が存在する環境での通信という、現実世界で極めて重要な課題に対する深い洞察と、それを分析するための強力な数学的ツール（ゲーム理論）を情報理論にもたらしました。

まとめ

クロード・シャノンによる競合通信路（ジャミングチャネル）の研究は、情報理論の基礎を、受動的なノイズ環境から能動的な敵対者との相互作用が存在する環境へと拡張する重要なステップでした。この研究は、通信システムとジャマーの間の戦略的なゲームとして問題を定式化し、ゲーム理論のミニマックス原理を応用して容量を定義しました。

シャノンのこの貢献は、情報理論とゲーム理論という二つの強力な数学分野の間の実りある交差点を示し、電子戦、情報セキュリティ、現代のワイヤレス通信における干渉管理など、幅広い応用分野の基礎を築きました。彼の仕事は、情報理論の普遍性と、それを複雑な現実世界の問題に応用する可能性を改めて示しています。競合通信路に関するシャノンの洞察は、今日でも敵対的な環境下での情報伝送とセキュリティの研究において、基本的な参照点となっています。