シャノン研究ノート - 『Communication Theory of Secrecy Systems』を読む：シャノンによる暗号システムの情報理論的分析と分類、理想システムの概念

『Communication Theory of Secrecy Systems』を読む：シャノンによる暗号システムの情報理論的分析と分類、理想システムの概念

Tags: 情報理論, 暗号理論, クロード・シャノン, 完全秘匿性, 拡散と混乱

はじめに：暗号理論の情報理論的基盤

クロード・シャノンが1949年に発表した論文『Communication Theory of Secrecy Systems』は、現代暗号理論の礎を築いた画期的な研究です。この論文においてシャノンは、暗号システムを情報理論の枠組みで分析するための数学的基礎を確立しました。それまでの暗号研究が特定の換字式や転置式暗号の解読技術に終始しがちであったのに対し、シャノンはシステムの一般的な性質、特に秘匿性（Secrecy）の限界を情報量という観点から定量的に評価することを可能にしました。

本稿では、『Communication Theory of Secrecy Systems』に焦点を当て、シャノンがどのように暗号システムを情報理論的にモデル化し、その上でどのような分類を行い、そして「理想システム（Ideal System）」という概念を提示したのかを掘り下げていきます。これは、現代暗号設計の根幹を理解する上で不可欠な知見となります。

暗号システムの情報理論的モデル

シャノンは、暗号システムを通信路モデルとして捉えました。このモデルには、以下の主要な要素が含まれます。

情報源 (Source): 平文メッセージ M を生成します。M は確率変数であり、メッセージ空間 $\mathcal{M}$ 上の確率分布 $P(M)$ に従います。
送信者 (Transmitter): 平文メッセージ M と鍵 K を入力として受け取り、暗号文 C を生成します。このプロセスを暗号化関数と呼びます。
鍵 (Key): 鍵空間 $\mathcal{K}$ 上の確率分布 $P(K)$ に従う確率変数 K です。通常、鍵は送信者と受信者によって共有されます。
暗号文 (Ciphertext): 暗号文空間 $\mathcal{C}$ 上の確率変数 C です。平文 M と鍵 K に依存します。
通信路 (Channel): 送信者から受信者へ暗号文 C を伝送します。この通信路は、情報理論的なノイズが存在する可能性のある通信路とは異なり、通常、盗聴者（Cryptanalyst）が暗号文 C を傍受できる環境をモデル化します。
受信者 (Receiver): 暗号文 C と共有された鍵 K を入力として受け取り、平文メッセージ M' を復号します。このプロセスを復号関数と呼びます。正しく復号できた場合、M' = M となります。
盗聴者 (Cryptanalyst): 暗号文 C を傍受し、そこから平文 M や鍵 K に関する情報を得ようと試みます。シャノンのモデルでは、盗聴者は暗号化・復号アルゴリズムを知っている（カークホッフスの原理の萌芽）と仮定されています。

このモデルにおいて、システムの安全性、すなわち秘匿性は、盗聴者が傍受した暗号文 C から、平文 M に関する情報をどれだけ得られるかによって評価されます。シャノンはこれを情報理論的な尺度、特に相互情報量 $I(M; C)$ を用いて定量化しました。$I(M; C)$ は、暗号文 C を知ることによって平文 M に関して得られる情報量を示します。

暗号システムの分類と基本操作

シャノンは論文中で、当時の既知の暗号技術を情報理論的な観点から分析し、それらを構成する基本的な操作に分解しました。彼が強調した二つの基本的な操作は「拡散 (Diffusion)」と「混乱 (Confusion)」です。

混乱 (Confusion): 暗号文と鍵との間の関係を可能な限り複雑にすることを目指します。各暗号文文字が複数の鍵文字や平文文字に依存するようにします。これにより、鍵と暗号文の間の統計的関係を不明瞭にし、鍵の特定を困難にします。換字式暗号などが Confusion の例として挙げられます。
拡散 (Diffusion): 平文の単一の文字が、暗号文の多くの文字に影響を与えるようにすることを目指します。これにより、平文中の統計的構造（例：文字の頻度、n-gramの頻度）が暗号文全体に拡散され、頻度分析などの統計的攻撃を困難にします。転置式暗号などが Diffusion の例として挙げられます。

現代の多くのブロック暗号（例：AES）は、Confusion と Diffusion の両方の原理を組み合わせた積（Product）暗号として設計されています。シャノンは論文の第VII章で、これらの基本操作を組み合わせた積暗号（Product Ciphers）について論じており、この考え方がその後の反復暗号（Iterated Ciphers）、特にFistel構造やSubstitution-Permutation Network (SPN)構造の設計に大きな影響を与えました。換字（Substitution）と転置（Transposition）といった単純な操作を複数段組み合わせることで、強力な暗号システムを構築できる可能性を示唆しています。

理想システム（Ideal System）と完全秘匿性

シャノンは暗号システムの究極的な目標として「理想システム（Ideal System）」、すなわち「完全秘匿性（Perfect Secrecy）」を持つシステムという概念を導入しました。完全秘匿性とは、暗号文 C を知っても、平文 M の確率分布に関する情報が一切得られないという性質です。情報理論的には、これは平文 M と暗号文 C が統計的に独立であることとして定義されます。

数式で表すと、以下の条件が満たされるシステムを完全秘匿性を持つシステムと定義しました。

任意の平文 $m \in \mathcal{M}$ および任意の暗号文 $c \in \mathcal{C}$ に対して、 $P(M = m | C = c) = P(M = m)$

これは相互情報量 $I(M; C) = 0$ と等価です。

シャノンは、このような完全秘匿性を持つシステムが存在するための条件を導出しました。重要な結果の一つは、もし $| \mathcal{M} | = | \mathcal{C} | = | \mathcal{K} | = N$ （メッセージ空間、暗号文空間、鍵空間のサイズが全て N）であり、全ての平文が等確率で出現し ($P(M=m) = 1/N$ for all $m$), 全ての鍵が等確率で選ばれる ($P(K=k) = 1/N$ for all $k$), かつ各鍵が平文と暗号文の間に一対一対応を定める（すなわち、異なる平文は異なる暗号文に暗号化され、異なる鍵は同じ平文を異なる暗号文に暗号化する）ならば、そのシステムが完全秘匿性を持つための必要十分条件は、任意の平文と任意の暗号文のペア $(m, c)$ に対して、それを満たす鍵 $k$ が一意に存在することであると示しました。

そして、このような条件を満たす典型的な例として、彼は一次式暗号（特に、有限体上の加算による暗号）に言及し、有名なワンタイムパッド (One-Time Pad, OTP) 暗号が完全秘匿性を持つことを情報理論的に初めて証明しました。OTP は、平文 M と同じ長さのランダムで一度だけ使用される鍵 K を用いて、通常は排他的論理和 (XOR) などの可逆なビット演算によって暗号文 C を生成するシステムです。

完全秘匿性の限界

シャノンは完全秘匿性の達成が非常に困難であることも示しました。特に、完全秘匿性を持つシステムにおいては、鍵のエントロピー $H(K)$ が平文のエントロピー $H(M)$ 以上でなければならないという必要条件を導出しました。

$H(K) \ge H(M)$

これは、鍵が少なくとも平文と同じだけのエントロピー（情報量）を持っていなければならないことを意味します。OTPの場合、鍵の長さが平文と同じであり、鍵が真にランダムであれば $H(K) = H(M)$ となり、この条件を満たします。しかし、この条件は、実用的な暗号システム（例：ブロック暗号やストリーム暗号）において、短い鍵で長いメッセージを安全に暗号化することが、情報理論的な意味での完全秘匿性を達成できないことを示唆しています。

シャノンのこの分析は、暗号システムの安全性を評価する際に、計算量の観点からの安全性（計算量的安全性）と情報量的な観点からの安全性（情報理論的安全性）という二つの異なるアプローチがあることを明確にしました。完全秘匿性は情報理論的安全性における究極的な目標ですが、鍵管理の困難さから、多くの現代暗号システムは計算量的安全性を目標として設計されています。

歴史的意義と現代への影響

シャノンの『Communication Theory of Secrecy Systems』は、それまで経験的、あるいは言語学的な側面が強かった暗号研究に、初めて厳密な数学的・情報理論的な基盤を与えました。

情報理論的安全性: 完全秘匿性の概念と $H(K) \ge H(M)$ という条件は、情報理論的安全性を持つシステムの限界を明確にしました。
モデル化と分析ツール: 暗号システムを通信路としてモデル化し、相互情報量などの情報理論ツールを用いてその安全性を分析する手法は、その後の暗号研究における標準的なアプローチとなりました。
設計原理: 拡散と混乱という二つの基本操作は、現代のブロック暗号設計における最も重要な原理となっています。AESなどの共通鍵暗号設計において、これらの原理はS-box（Substitution Box）やP-box（Permutation Box）などの要素として具体化されています。また、積暗号の考え方は、複数ラウンドにわたる暗号化プロセスの設計に直接的に影響を与えました。
カークホッフスの原理の再確認: アルゴリズムの秘匿に依存せず、鍵の秘匿のみに安全性を依存させるべきだという現代暗号の基本原則（カークホッフスの原理として知られる）も、シャノンの分析の前提として強く示唆されています。

この論文は、その後の数十年間の暗号研究の方向性を決定づけ、情報理論と計算機科学が交わる分野としての現代暗号学の発展に不可欠な貢献を果たしたのです。

結論

シャノンの『Communication Theory of Secrecy Systems』は、暗号システムを抽象的な情報理論の枠組みで捉え、その本質的な性質、特に秘匿性の限界を定量的に分析することを可能にした記念碑的な論文です。彼は、暗号システムを構成する基本的な操作として拡散と混乱を定義し、それらを組み合わせた積暗号の可能性を示唆しました。さらに、情報理論的な完全秘匿性の概念を厳密に定義し、それが達成されるための条件と、実用上克服困難な鍵管理の課題を明らかにしました。

この研究は、暗号理論を経験的な技術から数学的な科学へと昇華させ、現代暗号学の理論的基盤を確立しました。シャノンの洞察は、今日の暗号システム設計においても依然としてその重要性を失っていません。現代の暗号研究者は、シャノンによって切り拓かれた情報理論的視点を踏まえ、計算量の制約の下で現実的な安全性を追求しています。

シャノンの原論文は、これらの深い洞察がどのように導き出されたのかを詳細に記述しており、現代の暗号研究者にとっても多くの示唆に富む資料であり続けています。